בן-ציון דוד יהושע-רז נולד בירושלים ב-26 במאי 1936, לבכורה יוכבד לבית אלקלעי, בת היישוב הספרדי הישן ולמולא רפאל יהושע-רז, שעלה מאפגניסטן בילדותו (1898). מולא רפאל היה דמות ססגונית. כמורה דרך הוביל שיירות על סוסים ופרדות ל'ארבע ערי הקודש' ונודע כמספר הסיפורים של השכונה בשבתות בין מנחה למעריב. במלחמת השחרור מת מפצעיו. אמו בכורה-יוכבד הייתה מיסטיקנית. בן-ציון הוא בן הזקונים משבעת האחים והאחיות.​​

עד פרוץ מלחמת העצמאות למד יהושוע-רז בתלמוד תורה 'בני ציון'. לאחר פציעת אביו במלחמה יצא לעבוד לפרנסת המשפחה.  בתום שנה חזר לספסל הלימודים בתלמוד תורה מתקדם 'מגן דוד'. המורה להיסטוריה ותלמוד היה שמואל ספראי. בנעוריו למד יהושע-רז בתיכון ערב לנוער עובד 'דעת'. שירת בצה"ל. בהמשך למד באוניברסיטה העברית מדעי-הרוח, מדעי-היהדות ולימודי אסיה והתמחה בחקר תולדות היהודים באיראן, באפגניסטן ובמדינות המוסלמיות של מרכז אסיה.​

​יהושע-רז כיהן כמנכ"ל הוצאת מאגנס של האוניברסיטה העברית בירושלים וכעורך הראשי של ההוצאה. בנוסף שימש כמנהל אגף ההסברה והפרסומים בעיריית ירושלים וראש הרשות להסברה ולמידע בשעת חירום בירושלים, נספח תרבות ומנהל המרכז הישראלי למרכז אסיה הסובייטית בטשקנט מטעם לשכת הקשר. במסגרת תפקידו זה יצא בשליחות הצלה מטעם הספרייה הלאומית וחילץ והעלה לארץ ספרים וכתבי-יד של יהודי מרכז אסיה הסובייטית לשעבר.​

יהושע-רז היה חוקר ומרצה-אורח באוניברסיטאות, במכונים ובגופי חינוך ותרבות בארץ. במסגרת פעילותו הציבורית כיהן כיו"ר אגודת הסופרים העבריים בירושלים וכחבר ועד האגודה ושימש כמנכ"ל זמני של אגודת הסופרים. יו"ר אתר 'יהודי אפגניסטן בארץ ובתפוצות'. חבר אקו"ם.